Een zeer korte introductie tot de methoden

Een aantal termen die hieronder gebruikt worden, zullen voor sommigen even toegelicht moeten worden. Lezers die vertrouwd zijn met de termen uit de titel van deze paragraaf kunnen dit stuk gerust overslaan.

Een wiskundig model beschrijft een bepaald verschijnsel op een manier waarop ermee gerekend kan worden. Een bekend middelbare school voorbeeld is de verplaatsing van een lichaam met een constante versnelling: x(t)=¹/₂ a t²+x_o. Hierin is x(t) de plaats waarop het lichaam zich op tijdstip t bevindt, a is de constante versnelling en t is de tijd die is verstreken. In dit eenvoudige voorbeeld wordt x de toestand van het model genoemd: datgene wat met de tijd verandert. De versnelling a heet een parameter van het model: het verandert niet als functie van de tijd. De term x_o geeft de plek aan waar het lichaam zich bevindt op tijdstip t=0. Deze term wordt de beginwaarde van het model genoemd. Analoog hieraan kennen  twee- of meerdimensionale modellen (waarbij de toestand niet alleen afhangt van de tijd maar ook van de plaats, zoals bijvoorbeel de waterstand op zee) ook randvoorwaarden: de waarde op de rand van het gebied dat bekeken wordt.

Variationele data-assimilatie is gericht op het vinden van die set modelparameters (inclusief begin- en randvoorwaarden) waarbij het verschil tussen de beschikbare metingen en de modelvoorspellingen minimaal is. Het verschil tussen de metingen en de modelvoorspelling wordt uitgedrukt door een functie J(p), waarbij p de verzameling parameters van het model is. Vervolgens wordt met wiskundige optimalisatie methoden het minimum van J(p) gezocht. Om te voorkomen dat de optimalisatie fysisch onwaarschijnlijke aanpassingen doet, bevat J(p) meestal ook nog een term die het verschil aangeeft tussen de geoptimaliseerde parameters en de oorspronkelijke parameters.

Voor numeriek wiskundige modellen (zoals weermodellen en stromingsmodellen) is het aantal parameters extreem groot (bijvoorbeeld de beginwaarde in elk rekenpunt). In dat geval moeten er slimme dingen gedaan worden om toch binnen acceptabele tijd de optimale p te vinden. Gelukkig blijkt het mogelijk om met behulp van een zogeheten adjoint of invers model de richting te bepalen waarin een gegeven set parameters moet worden aangepast om dichter bij het minimum van J(p) te komen.

Dat klinkt simpel, en wiskundig gezien is het dat ook eigenlijk wel. Maar praktisch gezien kleven er aan deze methode enorme problemen. Ten eerste is het opstellen van het inverse model al snel net zo veel werk als het maken van het gewone, voorwaartse model. En als het voorwaartse model aangepast wordt, moet dat ook in het inverse model gebeuren. Ten tweede moeten voor deze methode alle tussenresultaten van het voorwaartse model bewaard worden, wat al heel snel ondoenlijk wordt.

Daarom wordt er op dit moment veel onderzoek gedaan naar methoden die geen invers model nodig hebben. Een daarvan gebruikt een lineaire benadering van het voorwaartse model. Deze lineaire benadering kan wel zonder omhaal geinverteerd worden.

Voor meer informatie over invers modelleren is dit een goede site. Daar is een speelgoed probleem te vinden dat de principes van deze methode laat zien. Het probleem betreft het vinden van de parameters van een planeetbeweging op basis van waarnemingen aan de plaats van de planeet.

Een hele andere klasse van methoden past niet de parameters van het model aan, maar de toestand van het model. Doordat het model vervolgens doorrekent met een aangepaste toestand, zullen uitkomsten die daarna berekend worden nauwkeuriger zijn dan wanneer de metingen niet gebruikt waren.

Dat aanpassen van de toestand van het model kan uiteraard niet zomaar. Als je in een punt van het model de toestand eenvoudigweg zou vervangen door de meting, dan zou er een inconsistentie in het model ontstaan: de toestand in de omliggende modelpunten sluit dan fysisch niet meer aan op de toestand in het meetpunt. Bovendien is het niet verstandig om de toestand in een meetpunt eenvoudig te vervangen door een meting omdat de meting ook fout kan zijn.

Het Kalman filter is een methode waarmee een modeltoestand zodanig kan worden aangepast dat er een goede afweging plaatsvindt tussen modelfout en metingsfout en bovendien de fysische relaties tussen punten van het model gerespecteerd wordt. Een bijkomend voordeel is dat de methode ook inzicht geeft in de mate waarin de meting de nauwkeurigheid verhoogt.

Ook het Kalman filter heeft zo z'n nadelen. Een daarvan is dat het voor grootschalige, niet-lineaire modellen veel te veel rekenwerk vergt. Daarom zijn er allerlei benaderingen ontwikkeld. Het Ensemble Kalman filter is ongetwijfeld de meest populaire, maar Square Root filtering en Reduced Rank Square Root filtering hebben hun nut bewezen. 

Veel informatie over het Kalman filter, inclusief biografische informatie over degene die hem bedacht heeft, is hier te vinden. Om kennis te maken met het Kalman filter is de
Kalman filter learning tool een goed startpunt.